曲線座標格子

曲線座標格子における流れの計算法について説明します。ここでは、簡単のため2次元とします。

流れの計算は、まず物理空間\( \mathbf{x} \)内の計算領域を計算空間(\( \mathbf{\xi} \))内の長方形領域に写像し、計算空間内の正方形格子に対して計算を行います。

\[ x=x(\xi(x,y), \eta(x,y)),\;y=y(\xi(x,y), \eta(x,y)) \]

のヤコビ(Jacobi)行列を計算すると

\[ \left( \begin{array}{cc} \xi_x x_\xi+\eta_x x_\eta & \xi_y x_\xi + \eta_y x_\eta \\ \xi_x y_\xi + \eta_x y_\eta & \xi_y y_\xi + \eta_y y_\eta \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \]

となります。これより変換の測度(metric)は、ヤコビ行列式(Jacobian)\( J=x_\xi y_\eta - x_\eta y_\xi \)を用いると

\[ \xi_x = \frac{y_\eta}{J},\;\xi_y = -\frac{x_\eta}{J},\;\eta_x = -\frac{y_\xi}{J},\;\eta_y = \frac{x_\xi}{J} \]

と表されます。

物理空間\( \mathbf{x} \)の曲線

\[ x=x(t), y=y(t) \]

の微小長さ\( ds \)は、計算空間\( \xi \)では

\[ \begin{array}{c} (ds)^2=(dx)^2+(dy)^2=(x_\xi d\xi + x_\eta d\eta)^2 + (y_\xi d\xi + y_\eta d\eta)^2 \\ = g_{11}(d\xi)^2 + 2 g_{12}d\xi d\eta + g_{22}(d\eta)^2 \end{array} \]

と表されます。たたし、測度\( g_{ij} \)

\[ g_{11} = x_\xi ^2 + y_\xi ^2,\;g_{12} = x_\xi x_\eta + y_\xi y_\eta,\;g_{22} = x_\eta ^2 + y_\eta ^2 \]

で、直交格子では

\[ g_{12} = 0 \]

Conformalなメッシュでは、さらに

\[ g_{11} = g_{22} = J \]

が成り立ちます。


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Last-modified: 2013-07-16 (火) 18:26:20 (1775d)