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曲線座標格子†
曲線座標格子における流れの計算法について説明します。ここでは、簡単のため2次元とします。
流れの計算は、まず物理空間$\mathbf{x}$内の計算領域を計算空間$\mathbf{\xi}$内の長方形領域に写像し、計算空間内の正方形格子に対して計算を行います。
$$ x=x(\xi(x,y), \eta(x,y)),\;y=y(\xi(x,y), \eta(x,y)) $$ のヤコビ(Jacobi)行列を計算すると $$ \left( \begin{array}{cc} \xi_x x_\xi+\eta_x x_\eta & \xi_y x_\xi + \eta_y x_\eta \\ \xi_x y_\xi + \eta_x y_\eta & \xi_y y_\xi + \eta_y y_\eta \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) $$ となります。これより変換の測度(metric）は、ヤコビ行列式(Jacobian)$J=x_\xi y_\eta - x_\eta y_\xi$を用いると $$ \xi_x = \frac{y_\eta}{J},\;\xi_y = -\frac{x_\eta}{J},\;\eta_x = -\frac{y_\xi}{J},\;\eta_y = \frac{x_\xi}{J} $$ と表されます。
物理空間$\mathbf{x}$の曲線 $$ x=x(t), y=y(t) $$ の微小長さ$ds$は、計算空間$\xi$では
$$(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2=(x_\xi d\xi + x_\eta d\eta)^2 + (y_\xi d\xi + y_\eta d\eta)^2$$ $$ = g_{11}(d\xi)^2 + 2 g_{12}d\xi d\eta + g_{22}(d\eta)^2 $$
と表されます。たたし、測度$g_{ij}$は $$ g_{11} = x_\xi ^2 + y_\xi ^2 $$ $$ g_{12} = x_\xi x_\eta + y_\xi y_\eta $$ $$ g_{22} = x_\eta ^2 + y_\eta ^2 $$ で、直交格子では $$ g_{12} = 0 $$ Conformalなメッシュでは、さらに $$ g_{11} = g_{22} = J $$ が成り立ちます。