*[[曲線座標格子]] [#kc265399]

曲線座標格子における流れの計算法について説明します。ここでは、簡単のため2次元とします。

流れの計算は、まず物理空間$\mathbf{x}$内の計算領域を計算空間($\mathbf{\xi}$)内の長方形領域に写像し、計算空間内の正方形格子に対して計算を行います。

\[
x=x(\xi(x,y), \eta(x,y)),\;y=y(\xi(x,y), \eta(x,y))
\]
のヤコビ(Jacobi)行列を計算すると
\[
\left(
\begin{array}{cc}
\xi_x x_\xi+\eta_x x_\eta & \xi_y x_\xi + \eta_y x_\eta \\
\xi_x y_\xi + \eta_x y_\eta & \xi_y y_\xi + \eta_y y_\eta
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right)
\]
となります。これより変換の測度(metric)は、ヤコビ行列式(Jacobian)$J=x_\xi y_\eta - x_\eta y_\xi$を用いると
\[
\xi_x =  \frac{y_\eta}{J}, \xi_y = -\frac{x_\eta}{J}, \eta_x = -\frac{y_\xi}{J}, \eta_y = \frac{x_\xi}{J}
\xi_x =  \frac{y_\eta}{J},\;\xi_y = -\frac{x_\eta}{J},\;\eta_x = -\frac{y_\xi}{J},\;\eta_y = \frac{x_\xi}{J}
\]
と表されます。

物理空間$\mathbf{x}$の曲線
\[
x=x(t), y=y(t)
\]
の微小長さ$ds$は、計算空間$\xi$では
\[
\begin{array}{c}
(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2=(x_\xi d\xi + x_\eta d\eta)^2 + (y_\xi d\xi + y_\eta d\eta)^2 \\
 = g_{11}(d\xi)^2 + 2 g_{12}d\xi d\eta + g_{22}(d\eta)^2
\end{array}
\]
と表されます。たたし、測度$g_{ij}$は
\[
g_{11} = x_\xi ^2 + y_\xi ^2,\;g_{12} = x_\xi x_\eta + y_\xi y_\eta,\;g_{22} = x_\eta ^2 + y_\eta ^2
\]
で、直交格子では
\[
g_{12} = 0
\]
Conformalなメッシュでは、さらに
\[
g_{11} = g_{22} = J
\]
が成り立ちます。

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