藤井聡太８冠の出現確率の一推定

はじめに

本記事では、藤井聡太８冠という極めて稀な存在を現在、目撃している状況下において、 このようなことがいかほど稀かを確認するために、藤井聡太８冠の出現確率を推定してみました。

藤井聡太８冠の推定レーティング値

まず、下表の藤井８冠の直近30対局の成績表(2023.11.10現在)は御覧のように、ほとんど無敵の状態を誇っています。

ここでは、レーティングのデータ(2023.11.10現在, http://kishibetsu.com/rating.html) を用いて、棋士としてピークであることが多い満26歳におけるレーティングを推定します。

推定方法は、この藤井８冠の直近30対局の成績表を用います。

• 藤井８冠の直近30対局の成績表

• 推定手順は、以下のようにして行いました （下のManim CEで作成した動画を参照ください)。

1. 藤井８冠の初期レーティングを設定：ra = 2118（2023年11月10現在）

2. トライアル・ループ：M回

   2.1 直近30対局の成績表から、N対局をランダム(重複あり)に抽出するループ

   • 2.1.1 抽出した１対局から下記変数を設定

     • 対戦相手のレーティング：rb
     • 勝敗の結果：result

   • 2.2.2 勝敗の結果resultに基づいて、イロレーティングにより、藤井８冠のレーティングraを更新

  k = 16
  # A's probability of winning calculated from the Iro rating
  W_AB = 1.0/(10**((rb-ra)/400.0) + 1)

  # case A wins
  if result:
      new_ra = ra + k * (1-W_AB)
  else: # case B wins
      new_ra = ra - k * W_AB
  ra = new_ra

3. N対局終了後の藤井８冠のレーティングraを記録
4. M個の記録されたレーティングのヒストグラムを作成
5. ヒストグラムをガウス分布でフィッティング

下の動画は、レーティングra=2118から開始して、 直近30対局の成績表からN=10対局をランダムに抽出し、 10対局を順に行って、藤井８冠のレーティング推移を算出してから、 10対局目のレーティングをヒストグラムに追加していくことをM=100回行った様子を示しています。

この10対局をM=100回行った結果は、下図のようなヒストグラムとなり、直近30局の成績のいびつさがそのまま現れています。

10対局を100トライアルした場合のヒストグラム

この10対局をM=10000回行っても、ヒストグラムのいびつさは無くなりませんでした。

10対局を10000トライアルした場合のヒストグラム

これは、10対局が少なすぎるからのようです。 中心極限定理の観点からしても、対局数を増やしていく必要がありそうです。

試しに、100対局10000トライアル、1000対局10000トライアル、10000対局10000トライアルと増やしていくと、 ヒストグラムはガウス分布に近づき、フィッティングしたガウス分布の平均も2191くらいで変わらなくなっていきました。

100対局を10000トライアルした場合のヒストグラム
（ガウス分布の平均：2167.31093、標準偏差：34.3918987）

1000対局を10000トライアルした場合のヒストグラム （ガウス分布の平均：2191.66157、標準偏差：38.3252676）

10000対局を10000トライアルした場合のヒストグラム （ガウス分布の平均：2191.51815、標準偏差：38.0021477）

以上から、藤井8冠の棋士としてピークの満26歳におけるレーティングは、2191くらいだろうと推測されます。

藤井聡太８冠の出現確率の一推定

それでは、藤井聡太８冠の出現確率を推定します。

まず、将棋のレーティングにおける、標準偏差σと確率の関係は概ね下表のようになっています。（*はワイルドカード記号)

❗ 推定されたレーティングの2191は$4\sigma$の外にあります。

次に、毎年4名がプロ棋士になることから、1人出現年数は$n=1,…, 5$に対して

$$1人出現年数 = \frac{1}{4(人/年)\times n \sigmaから外れる片側確率}$$

と定義されます。

したがって、レーティングと1人出現年数の対応表は以下のようになります。

レーティングと1人出現年数の表

これをグラフにすると、テイラー展開（ベキ級数）ではフィッティングできないくらい急上昇するので、 急上昇する関数

$$ y = a \cdot e^{bx^c}$$

を用いて、$a, b, c$の値をフィッティングしますと、下図のようになりました。 ($a = 0.00547448, b = 1.378e-13, c = 4.21$)

レーティングと1人出現年数のフィッティング

それでは、このフィッティングした関数に、推定される藤井8冠のレーティングの2191を代入してみましょう。

結果は872,139年

となりました。 つまり、藤井聡太８冠の出現は、872,139年に1人というとんでもなく希有な事象であると推定されました。

おわりに

本記事では、藤井聡太８冠の出現確率を推定してみましたが、872,139年に1人という、とてつもなく稀な事象という結果になりました

次の藤井聡太は、次の類人猿が現れる前に現れるのでしょうか？

• lmfit
• manim