粒子層内の水分および熱移動

By M.Sato

June 28, 2022

土壌内を水分および熱が移動する様子を自作プログラムでシミュレーションしましたので、ご紹介します。

はじめに

土壌は固体粒子、水、空気で構成される複合材料です。

もし土粒子以外の間隙がすべて水で満たされている場合は飽和状態と呼ばれます。

一方間隙内に空気と水が混在している場合は不飽和状態と言われます。

Saturated Unsaturated

以下では、不飽和状態を対象にして、水分移動、熱移動をシミュレーションした例を示します。

水分移動の基礎方程式

多孔質体内における水分および空気の移動は慣性力の効果を無視できる場合、ダルシーの法則で表されます。

$$ 水分流速：u_l = - \frac{K K_{rl}}{\mu_l}\left (\frac{\partial p_l}{\partial z} - \rho_l g\right) $$

$$ 空気流速：u_g = - \frac{K K_{rg}}{\mu_g}\left (\frac{\partial p_g}{\partial z} - \rho_g g\right) $$

ここで、

$ K：透水係数 [m^2] $
$ K_{rl}, K_{rg}：水分、空気の相対透水係数 [-] $
$ \rho_l, \rho_g：水分、空気密度[kg/m^3]　$
$ \mu_l, \mu_g：水分、空気密度 [Pa\cdot s] $
$ p_l, p_g：水分、空気圧力 [Pa] $

空気圧力と水分圧力の差は毛管圧力と呼ばれ、以下で表されます。

$$ p_g - p_l = p_c $$

大気開放系では、$p_g = 0$とみなせることから、水分流速は次式で表現されます。

$$ u_l = \frac{K K_{rl}}{\mu_l}\left (\frac{\partial p_c}{\partial z} + \rho_l g \right) $$

ガス質量が微小で無視できるとすれば、質量保存式は次式で表されます。

$$ \varepsilon \frac{\partial s}{\partial t} = - \frac{\partial u_l}{\partial z} = - \frac{\partial}{\partial z} \left (\frac{K K_{rl}}{\mu_l} \left (\frac{\partial p_c}{\partial z} + \rho_l g \right) \right) $$

ここで、

$\varepsilon$：空隙率、$s$：含水飽和度

を表します。

含水飽和度は空隙中の水分比率を表しています。相対透水係数$K_{rl}$および毛管圧力$p_c$は土壌中の水分量（すなわち$s$）に依存して変化することから、この質量保存式は$s’$に関する非線形方程式となっています。