ハルトマン流れ

By M.Sato

December 9, 2024

概要

電磁場と流体が連成する問題を扱う手法には、電気流体力学(EHD)、電磁流体力学(MHD)などがある。

MHD解析では、導電性流体を想定し、アンペールの法則に含まれる変位電流の項を無視して、流れ場と電磁場を計算する

ここではMHD解析の例としてハルトマン流れを対象として、誘導磁場法を使って理論解を導いた。

簡単なモデルを使ってAnsys Fluentで計算を行い、理論解と一致することが分かった。

基礎方程式

電磁場を記述する方程式はマクスウエル方程式と呼ばれる。

$$ \begin{align} &\nabla\cdot \mathbf{E} =\frac{\rho_e}{\epsilon} \\ &\nabla\cdot \mathbf{B} =0 \\ &\nabla\times \mathbf{E} =-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \\ &\nabla\times \mathbf{B} = \mu \left( \mathbf{J} + \epsilon \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \right) \end{align} $$

ここで、$\mathbf{E}$は電界、$\mathbf{B}$は磁束密度、$\mathbf{J}$は電流密度、$\rho_e$は電荷密度、 $\epsilon$は誘電率、$\mu$は透磁率である。

電流密度については次の関係式が成り立つ。ここで$\mathbf{u}$は流速、$\sigma$は導電率である。

$$ \begin{align} \mathbf{J} =\sigma (\mathbf{E} + \mathbf{u}\times\mathbf{B}) \end{align} $$

流体運動はナビエ・ストークス方程式で記述される。

$$ \begin{align} &\nabla \cdot \mathbf{u}=0 \\ &\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} \right) = -\nabla p +\eta \nabla^2\mathbf{u} + \mathbf{J}\times\mathbf{B} \end{align} $$

ここで、$\rho$は流体密度、$\eta$は粘度、$p$は圧力、$\mathbf{J}\times\mathbf{B}$はローレンツ力である。

導電性の材料では(4)式右辺第二項（変位電流）は無視できることから $\mathbf{J}=\nabla\times\left(\frac{\mathbf{B}}{\mu}\right)$となり、ローレンツ力は次式で表される。

$$ \begin{align} \mathbf{J}\times\mathbf{B} =-\mathbf{B}\times\nabla\times\left(\frac{\mathbf{B}}{\mu}\right)=(\mathbf{B}\cdot\nabla)\left(\frac{\mathbf{B}}{\mu}\right) - \nabla\left(\frac{\mathbf{B^2}}{2\mu} \right) \end{align} $$

上式の右辺は応力テンソル$\tau_{ij}$の発散形式となっている。ローレンツ力を表す等価な応力テンソルはマクスウエル応力と呼ばれる。

$$ \begin{align} \mathbf{J}\times\mathbf{B}=\frac{\partial}{\partial x_j}\left[\frac{B_i B_j}{\mu}\right] - \frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{B_k B_k}{2\mu}\right] =\frac{\partial}{\partial x_j}\left[ \frac{B_i B_j}{\mu} - \frac{B_k B_k}{2\mu}\delta_{ij} \right] \end{align} $$

(3),(4),(5)式を組み合わせると磁場に関する誘導方程式が得られる。

$$ \begin{align} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=\nabla\times(\mathbf{u}\times\mathbf{B})+\frac{1}{\mu\sigma}\nabla^2\mathbf{B} \end{align} $$

磁場を外部磁場 $\mathbf{B_0}$と誘導磁場$\mathbf{b}$の和として表す。

$$ \begin{align} \mathbf{B} = \mathbf{B_0} + \mathbf{b} \end{align} $$

磁気誘導法では、(6),(7),(8),(10),(11)式を連立させて流れ場と電磁場を計算することになる。

無次元パラメータ

電磁流体を計算する際に重要な無次元パラメータは以下である。

名前	記号	定義	意味
レイノルズ数	$Re$	$\rho ud /\eta$	慣性力と粘性力の比
相互作用パラメータ	$N$	$\sigma B^2 d/\rho u$	ローレンツ力と慣性力の比
ハルトマン数	$M$	$Bd\sqrt{\sigma/\eta}$	ローレンツ力と粘性力の比
磁気レイノルズ数	$Rm$	$\mu\sigma ud$	$B$方程式中の移流項と拡散項の比

ハルトマン流れ

解析モデル

解析の内容を模式的に示す。

平行平板間を溶融した鉄が流れるとし、流路の上流端、下流端に圧力を指定した。

全領域にわたって磁束密度（外部磁場）$B_0$が作用しているとし、$B_0$は $y$方向成分のみを有するとした。 $B_{0y}$は設定したハルトマン数$M$から逆算して値を設定した。

$$ B_{0y}=\sqrt{\frac{\eta}{\sigma}}\frac{M}{d} $$

例えば、$M=20$の場合、

$$ B_{0y}=\sqrt{\frac{0.007}{7.14e5}}\frac{20}{0.02}=0.099015[tesla] $$

解析モデル

理論解の導出

誘導磁場に関する方程式

流速場および磁場は、$\mathbf{u}(y)=u_x(y)\mathbf{e}_x$、$\mathbf{B}(y)=B_0\mathbf{e}_y+b_x(y)\mathbf{e}_x$と表すことができる。

ここで、$\mathbf{e}_x$、$\mathbf{e}_y$はそれぞれ$x$,$y$方向の単位ベクトルである。

以下では簡単のため、$u_x\to u$および、$b_x\to b$と表すことにする。

$$ \begin{align} & \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \\ & \frac{\partial b}{\partial x} = 0 \\ & \rho u \frac{\partial u}{\partial x} = K + \eta \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) + F_{lorentz} \\ & F_{lorentz} = -\frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{b^2}{2\mu} \right) +\frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{b^2}{\mu} \right) + \frac{B_0}{\mu} \frac{\partial b }{\partial y} \end{align} $$

ここで、$K=-dp/dx$（圧力勾配）である。

$\partial(\cdot)/\partial x=0$であることから、最終的に以下の連立微分方程式が得られる。

$$ \begin{align} & \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} +\frac{B_0}{\mu\eta} \frac{\partial b}{\partial y} = -\frac{K}{\eta} \\ & \frac{\partial^2 b}{\partial y^2} + \mu\sigma B_0 \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \end{align} $$

行列で表記すると

$$ \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \\[2mm] \frac{\partial^2 b}{\partial y^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -\frac{B_0}{\mu\eta} \\[2mm] -\mu\sigma B_0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{du}{dy} \\[2mm] \frac{dy}{dy} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -\frac{K}{\eta} \\[2mm] 0 \end{bmatrix} $$

これらの非同次連立二階常微分方程式を適当な境界条件のもとで積分すれば解が得られる。

境界条件

壁面において境界条件を設定することが必要である。

流速$u$：noslip条件とする
誘導磁場$b$ については２種類の指定が考えられる
1. 固体壁が完全導体の場合(電気壁)：$\mathbf{b}\cdot\mathbf{n}=0$
2. 固体壁が完全絶縁体の場合(磁気壁)：$\mathbf{b}=0$

ここでは壁面は絶縁体とし$b=0$とした。

連立常微分方程式を解く際に使用する境界条件をまとめると以下のようになる（対称性を考慮し、区間$y=0$から$y=d$までを計算対象とする）。

$$ \begin{align} & u(y=d)=0 \\ & \frac{du}{dy}(y=0)=0 \\ & b(y=0)=0 \\ & b(y=d)=0 \end{align} $$

理論解

未知変数$u,b$について、上記の境界条件を設定し、常微分方程式を解くと次式が得られる。

$$ \begin{align} u(y) &= \frac{K d^2}{\eta M} \frac{\cosh(M)-\cosh\left(M\frac{y}{d}\right)}{\sinh(M)} \\ b(y) &= \frac{\mu d K}{B_0}\left( \frac{\sinh(M\frac{y}{d})}{\sinh(M)} - \frac{y}{d}\right) \end{align} $$