凝固・融解モデルと理論解の比較
Ansys Fluentの凝固・融解モデルとStefan問題の理論解を比較検証。エンタルピー・空隙率法による氷の融解シミュレーションと、Alexiadesらの解析解の高精度な一致を確認します。
はじめに
Ansys Fluentでは、凝固や融解が（純金属の凝固・融解のように）特定の温度で発生する流体流れの問題を解析することができます。
Ansys Fluentでは、固液の接触領域を明示的に追跡する代わりに、エンタルピー・空隙率法を使用しています。ここでは、氷が融解して水に変化する時間精度を確認します。
Stefan問題
相変化の時間精度を調べるには、Stefan問題がよく知られていて、Alexiadesらの理論解があります。この問題は１次元の問題で、相の界面の位置を調べる問題です。
相界面の位置
相の界面は次の式で表されます。
$$x_{\Gamma}(t) = 2\gamma\sqrt{\alpha_l t} \tag{1}$$
ここで、\(x_{\Gamma}\)は相の界面位置、\(\alpha\)は温度拡散率、\(t\)は時間、\(\gamma\)は一定値、下添字\(l\)は液相です。\(\gamma\)は次の式の超越方程式を満たします。
$$\gamma e^{\gamma^2} \text{erf}(\gamma) = \frac{C_{p_l} (T_{\text{wall}}-T_{\text{melt}})}{\hat{H}_{LV} \sqrt{\pi}} \tag{2}$$
パラメータの定義
- \(\hat{H}_{LV}\)：潜熱
- \(C_p\)：定圧比熱
- 下添字\(\text{melt}\)：凝固点
温度分布の理論解
温度分布は次のように表すことができます。
$$T_l(x,t)=T_{\text{wall}} + \frac{T_{\text{melt}}-T_{\text{wall}}}{\text{erf}(\gamma)} \text{erf}\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha_l t}}\right) \tag{3}$$
ここで、\(T\)は温度、\(\alpha\)は温度拡散率、\(\hat{H}_{LV}\)は潜熱、\(C_p\)は定圧比熱です。この理論解とAnsys Fluentの結果を比較します。
Ansys Fluentの融解・凝固モデル
解析条件の設定
ここでは氷が溶けて水になる数値計算を考えます。設定パラメータは以下の通りです。
主要パラメータ
- 固相線温度：\(T_{\text{solidus}} = 272.15\,\text{K}\)
- 液相線温度：\(T_{\text{liquidus}} = 273.15\,\text{K}\)
- 半溶融領域定数：\(A_{\text{mush}} = 100,000\)（デフォルト値）
- 計算領域：\(10\,\text{mm}\)の氷を配置
- 壁面温度：\(T_{\text{wall}} = 273.15\,\text{K}\)
初期温度は\(272.15\,\text{K}\)とし、氷とします。
計算格子は100セルの等分割としました。初期に氷を配置し、左側の壁は\(273.15\,\text{K}\)の等温壁を設定します。氷が水になる融解温度は\(273.15\,\text{K}\)とします。
体積分率の時間変化
次に氷と水の体積分率の計算結果をアニメーションで示します。青色が氷を示し、赤色が水を示します。左側から氷が融解し、水に変化していることが確認できます。
理論解とFluentの計算結果の比較
Alexiadesらの理論解とAnsys Fluentの計算結果を比較します。
比較方法
- 白色から青色のカラーマップ：式(3)の理論温度分布
- 黒い実線：式(1)の理論相界面位置
- 赤色の丸マーカー：Ansys Fluentの相界面（体積分率\(0.5\)）
理論解と良く一致していることが確認できました。エンタルピー・空隙率法による数値解法の高い精度が実証されています。
おわりに
検証結果のまとめ
今回は、Ansys Fluentの凝固・融解モデルの時間精度について、理論解と比較しました。半溶融領域の定数や固相・液相線温度のパラメータがありますが、氷と水の場合は今回の設定で理論解と良い一致を得ることができました。
参考文献
V. Alexiades, A. Solomon, Mathematical Modeling of Melting and Freezing Processes, Hemisphere, Washington, D.C., 1993.
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