流体力学メモ - 流体力
流体の内部に置かれた物体の表面に作用する流体力について解説します。静止流体の静水圧から、流れのある場合の粘性応力まで、流体力の基本的な考え方を数式とともに学びます。
流体力について
流体の内部に置かれた物体の表面には流体力が作用しています。例えば、最も簡単な例として水中に置かれた箱を考えます。この箱には水圧が作用しています。
圧力の定義と単位
圧力は単位面積当たりの力を表しており、SI単位系を使った場合、単位は[N/m²]となります。（この単位はパスカルと呼ばれる）
圧力の基本
- 定義：単位面積当たりの力
- SI単位：[N/m²] = [Pa]（パスカル）
- 方向：面に対して垂直に作用
静止流体の圧力
静止した流体の場合、水圧は水深から計算することができます。
静水圧の公式
$$ p = \rho g h$$
記号の説明
- • \(p\)：圧力 [Pa]
- • \(\rho\)：流体の密度 [kg/m³]
- • \(g\)：重力加速度 [m/s²]
- • \(h\)：水深 [m]
物体表面に作用する全作用力
物体の表面に渡って面積分すれば全作用力を計算することができます。
全作用力の計算式
$$ F = \int_S p\cdot n dS $$
記号の説明
- • \(F\)：全作用力 [N]
- • \(n\)：法線方向ベクトル
- • \(S\)：物体表面
アルキメデスの原理
この考え方に基づけば、任意の形状の物体に作用する力を求めることができますが、実はもっと簡単に全作用力を計算することが可能です。物体が押しのけた水の重量に重力加速度をかけた値が全表面圧力積分値と一致します。
アルキメデスの原理（浮力）
流体中の物体には、その物体が押しのけた流体の重さに等しい浮力が上向きに作用します。この原理により、複雑な表面積分を行うことなく、押しのけた体積から直接作用力を求めることができます。
流れのある場合の流体力
一方、流体が流れている場合には、どのようにすればよいでしょうか？
この場合には、物体表面での圧力は静水圧にはなりません。正確な圧力値を求めるためには、流体の運動方程式を解く必要があり、特別な例を除き簡単に算出することができません。
流れのある場合の特徴
- 動圧の発生：流速によって圧力が変化
- 粘性応力の作用：流体の粘性による摩擦力
- 複雑な圧力分布：物体形状と流れ場に依存
例えば粘性流体の場合、以下のような式を使って力を計算します。
粘性流体における流体力
$$ F = \int_S \sigma_{ij}n_j dS = \int_S \left(p\delta_{ij}+\mu\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)\right)n_j dS $$
記号の説明
- • \(\sigma_{ij}\)：応力テンソル
- • \(p\)：圧力
- • \(\mu\)：粘性係数
- • \(u_i\)：速度成分
- • \(\delta_{ij}\)：クロネッカーのデルタ
この式は、圧力項（第1項）と粘性応力項（第2項）の両方を考慮した一般的な流体力の表現です。流体解析では、この積分を数値的に計算します。
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